terça-feira, 12 de outubro de 2010

Situação-Problema sobre Volume da Esfera

Volume da Esfera

Um reservatório A de uma Instituição cuja a forma é de uma esfera de raio igual a 10 metros possui duas torneiras. Uma torneira desperdiça água na velocidade de 2 litros/minuto e a outra na velocidade de 4 litros/minuto. Esse reservatório também possui um ralo cujo o fluxo de água que passa por ele é de 3 litros/minuto e a cada litro de água que passa por esse ralo, a Instituição tem um prejuízo de R$ 2,00.
Um reservatório B da mesma Instituição cuja a forma também é de uma esfera de raio igual a 10 metros possui duas torneiras. Uma torneira desperdiça água na velocidade de 3 litros/minuto e a outra na velocidade de 5 litros/minuto. Esse reservatório também tem um ralo cujo o fluxo de água que passa por ele é de 4 litros/minuto e a cada litro de água que passa por esse ralo, a Instituição tem um prejuízo de R$ 1,00. Em qual reservatório a Instituição deve acionar as duas torneiras para ter menos prejuízo após sua ocupação completa por água? Despreze os volumes ocupados pelas duas torneiras de cada reservatório e considere ∏ igual a 3.

Solução:

Raio do reservatório A e do reservatório B = R
Volume do reservatório A e do reservatório B = 4∏ R³/3 = 4 . 3 . 10 ³ / 3 = 4.000 m ³ = 4.000.000 dm ³ = 4. 000.000 litros.

No reservatório A:

Soma das velocidades das duas torneiras e do ralo = 2 litros/minuto + 4 litros/minuto – 3 litros/minuto = 3 litros/minuto ( a cada minuto, há um acréscimo de 3 litros no reservatório A).
Tempo de ocupação completa por água no reservatório A:
4.000.000 litros --------- t
3 litros ------------------- 1 minuto
t * 3 = 4.000.000 * 1 6
t = 4.000.000 / 3 = 1,34 * 10 minutos
Desperdício de água no reservatório A após a ocupação completa por água:
3 litros -------- 1 minuto
v----------------1,34 * 1.000.000 minutos
v = 3 * 1,34 *1.000.000
v = 4,02*1.000.000 litros
Prejuízo da Instituição pelo desperdício de água no reservatório A após sua ocupação completa por água:
R$ 2,00 --------- 1 litro
x------------------4,02*1.000.000 litros
x = 8,04* 1.000.000 reais = R$ 8.040.000,00

No reservatório B:

Soma das velocidades das duas torneiras e do ralo = 3 litros/minuto + 5 litros/minuto – 4 litros/minuto = 4 litros/minuto ( a cada minuto, há um acréscimo de 4 litros no reservatório B).
Tempo de ocupação completa por água no reservatório B:
4.000.000 litros --------- t’
4 litros ------------------- 1 minuto
t ‘* 4 = 4.000.000 * 1
t’ = 4.000.000 / 4 = 1.000.000 minutos
Desperdício de água no reservatório B após a ocupação completa por água:
4 litros -------- 1 minuto
v----------------1,34 * 1.000.000 minutos
v = 4 * 1,34 *1.000.000
v = 5,36*1.000.000 litros
Prejuízo da Instituição pelo desperdício de água no reservatório B após sua ocupação completa por água:
R$ 1,00 --------- 1 litro
x------------------5,36*1.000.000 litros
x = 5,36* 1.000.000 reais = R$ 5.360.000,00

Comparando os prejuízos:

R$ 8.040.000,00 > R$ 5.360.000,00

Dessa forma, a Instituição deverá acionar o reservatório B para ter menos prejuízo.

Um comentário:

  1. Boa questão! Ecologicamente, economicamente, socialmente, responsavelmente e matematicamente falando! Parabéns!

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